Иван, в вашем вопросе не указана конкретная процедура, поэтому однозначно ответить невозможно. Однако, исходя из предоставленного текста и типичных ошибок, можно предположить, что привилегированный режим не был установлен в той процедуре, где происходит работа с безопасным хранилищем данных, например, при вызове:

УстановитьПривилегированныйРежим(Истина);
Настройки = ОбщегоНазначения.ПрочитатьДанныеИзБезопасногоХранилища(База, "Логин, Пароль");
УстановитьПривилегированныйРежим(Ложь);

Если в этой процедуре не был установлен привилегированный режим, то возникнет ошибка недостатка прав для работы с таблицей "РегистрСведений.БезопасноеХранилищеДанных".

Также, если в общем модуле, где должен быть установлен флаг "Привилегированный", этого не сделано, или если версия БСП ниже 2.3, то привилегированный режим не будет работать корректно.

Если вы предоставите конкретный код процедуры, я смогу точно указать, где отсутствует установка привилегированного режима.

Рекомендую посмотреть здесь: https://infostart.ru/1c/articles/1951623/